Baustatik, 3. Semester

Stand 2000.

plastische Formänderung: Ruckgang auf Parallele zu elastischen Gerade.

Voraussetzungen für elastische Formänderungen:

  • Bernoulli-Hypothese (Querschnitte stehen senkrecht auf Stabachse) gültig für kleine Verformungen und keine Querkraftbeanspruchung vorliegt.
  • Hookesches Gesetz gültig
  • Verformungen klein in Relation zu maßgeblichen Querschnittabmessungen

Konsequenzen:

  • Linearität zwischen Belastungen und Verformungen
  • Superpositionsprinzip gilt (Bei Überlagerung von Kräften ergibt sich eine Überlagerung der Schnittgrössen)

Formänderungen elementarer Beanspruchungen

Formänderungen infolge Normalkraftbeanspruchung

In einem Stab der Länge 1 ,der durch N beansprucht wird, wird ein Teilchen mit der Länge dx um du verlängert.

ε = du/dx

σ = N/A

Stoffgesetz: σ = E *ε

=> elementare Verformungsbeziehung:

du = N / (E *A) * dx

E * A = Dehn- oder Normalsteifigkeit

int(du) = int(N/(E*A)*dx)

N *l / (E*A) = gesamte Formänderurg des Stabes

Formänderungen infolge von Biegebeanspruchung

Balken durch Konstantes Moment belastet.

Moment wirkt an beiden Seiten des differentiell kleinen Teilchens.

Skizze

Längenänderung der Faser = ε(z)dx

dφ ist für kleine Winkel ungefähr ε(z)dx /z = tan(dφ)

σ = M/I*z

σ = E * ε

Daraus folgt: σ = E * dφ *z/dx

dφ = M/(E*I)*dx

E * I = Biege- oder Momentensteifigkeit

Formänderungen infolge von Querkraftbeanspruchungen

Einseitig eingespannter Träger wird am Ende durch F beansprucht => Teilchen beidseitig durch Q beansprucht => Gleitungen

Skizze

Arbeit

Äußere Arbeit

W = F *S * cos(α)

F und S sind Vektoren, α ist der eingeschlossene Winkel.

Eigenarbeit

Eigenarbeit ist immer positiv.

Durch Fi ergibt sich die Verformung δii

  • Das erste i beschreibt den Ort.
  • Das zweite i beschreibt die Ursache.

int(dW)= int(Fi * δii)

Bei dynamischen Kräfte ist die Beanspruchung doppelt so groß.

Für statische Kräfte steigt die Kraft linear an.

Verschiebungsarbeit

Verschiebungsarbeit wird auch Fremdarbeit genannt.

W = Fi * δij

Ein differentiell kleines Teilchen der Länge dx wird durch N beansprucht Resultat: Verlängerung um du.

dWi = 1/2 * N * du

dWi = 1/2 * N * ε * dx

Mit Dehnungssteifigkeit:

dWi = 1/2 * N2/(E*A) * dx

Für Biegebeanspruchung:

dWi = 1/2 * M2/(E*I) * dx

Für Querkraftbeanspruchung:

dWi = 1/2 * κ * Q2/(G*A) * dx

Für Torsionsmomenterbeanspruchung:

dWi = 1/2 * MT2/(G*IT) * dx

Einzelne Arbeitsterme dürfen in der linearen Statik addiert werden.

Bei überwiegend biegebeanspruchten Systemen ist es ausreichend den Biegemomententerm zu betrachten.

Wi = int(dWi)= int(1/2*N2/(E*A)*dx)

Wi = 1/2 * N2 / (E *A) W * l

Stablänge l

Arbeitssatz

Die Äußere Arbeit ist gleich der Formänderungsenergie.

Ein Stab der Länge l verlängert sich aufgrund des Angriffes von F um u.

Wa = 1/2 * F * u

Wi = 1/2 * N2 * l / (E*A)

Wa = Wi

Die Grenzen des einfachen Arbeitssatzes:

  1. Berechnung von Verformungen, die nicht im Term Wa auftauchen.
  2. Berechnung Wi = Wii + Wij:
    Wa= 1/2 * Fi * wij + 1/2 Fj * wjj + Fi * wij

Beispiel Arbeitssatz

Ein Einfeldträger mit Einzellast in Feldmitte. Gesucht ist die Maximalverformung w.

Wa = 1/2 * F * w (Eigenarbeit von F)

Das System ist überwiegend biegebeansprucht. Die Wirkung von Q wird vernachlässigt.

dWi = 1/2 * M2 / (E*I) * dx

max M = F * l/4

Der Verlauf ist linear:

M(x)= F * x/2

Wi = F2/(4 * E * I) * l3/3

w = F*l3 / (48 * E * I)

Stabverdrehung

Eine Stabverdrehung kommt zustande wenn zwei gleich große Kräfte entgegengesetzt gerichtet wirken.

Die Kräfte haben einen Abstand a und greifen an einem starren Körper an.

Wa ist immer Null bei translatorischer Verschiebung.

Bei einer Rotation um M ergibt sich der Drehwinkel φ.

Für kleine Winkel δ

s = s2 - s1 = φ * a

Wa = F * φ * a = M * φ

Beispiel Stabverdrehung

Es soll die Stabverdrehung φB am freien Ende eines Kragarms unter der Wirkung eines Einzelmomentes MB am freien Ende bestimmt werden. Die Stablänge ist l.

φB ist der Winkel zwischen den Tangenten an die Biegelinie im verformten/unverformten Zustand. Das System ist überwiegend biegebeansprucht.

Momenten-Zustandslinie:

M(x)= const = MB

E*I = const

Wa = 1/2 * MBB

Durch Wa = Wi:

φB = MB * l / (E*I)

Das Prinzip der virtuellen Kräfte

  1. Durch eine virtuelle Kraft vom Betrag 1 ergibt sich eine Verformung uquer. (virtuelle Stabkräfte S1quer und S2quer
  2. Angriff von F. Resultat: Horizontale und vertikale Verformung. Resultierende StabKräfte S1 + S1quer und S2 + S2quer

Wa= 1/2 *1 * uquer + 1/2 F * v + 1* u

Bei Fachwerkstäben:

Ai = 1/2 * Sum(i=1, n; Si2 *li / (E*Ai))

Nach Elimination der Eigenlasten ergibt sich:

1*u = sum(i=1; n; Siquer * Si * li/(E*Ai)

Mohrsches Verfahren

DGL der elastischen Biegelinie:

w''(x) = -M(x)/(E*I)

Analogie M und w, Q und φ

Vorgehensweise

Ermittlung M(x) aus q(x)

M(x) wird als äußere Belastung q(x) aufgefaßt

Für q(x) werden die Auflagerkräfte und Querkraft deutschq(x) und Momentenflächen deutschM(x) bestimmt<

Durchbiegungen und Verformangen werden aus φ(x)= deutschq(x)/(E*I) und w(x)= deutschM(x)/(E*I) ermittelt<

Stabilit&auml;t gerader St&auml;be

Formen des Stabilit&auml;tsversagens

Durch Knicken ger&auml;t der Querschnitt in die Nachbarlage. Bei doppelt symmetrischen Querschnitten ergibt sich niemals eine Verdrillung.

Eulerf&auml;lle:

  1. einseitig fest eingespannt
  2. einwertig und zweiwertig gelagert; Resultat: Sinnshalbwelle
  3. dreiwertig und einwertig
  4. dreitwertig und dreiwertig

Stahl unter Druckspannung

Skizze

Eulerfall II

Voraussetzungen:

  • Bernoullihypothese gültig
  • Hooke'sche Gesetz gültig
  • Kleine Verformungen

Ist der Nachbarzustand als Gleichgewichtszustand möglich?

sum(M<sub> i(s)</sub>) = O

N * w(x) - M(x) = O

Mit DGL der elast. Biegelinie:

w''(x) + N/(E*I) * w(x) = 0

lineare DGL 2. Ordnung, homogener Bauart

Ansatz: w(x)= A*?

A = offene Konstante, Amplitude

w''(x) = -π2 / l2 * A * sin(π/l*x)

Lösung der DGL:

  • A = O triviale Lösung, keine Auslenkung
  • Nki = π2 * E * I / l2

Die Eulersche Knicklast, eine offene Konstante bleibt unbestimmt (Eisenwertproblem)

Trägheitsradius i = root(I/A)

σki = π2 * E *i2 / l2

σki = π2*E / φ2

φ - Schlankheit

Eulerhyperbel

Versuch mit nachkritischem Verhalten

sk Knicklänge

sk = β * l

β = Knicklängenbeiwert

l = Netzlänge, Auflagerabstand

Nki = π2 * E *I / sk2

Eulerfall 1: β = 2

Eulerfall 2: β = 1

Eulerfall 3: β = 0,7

Eulerfall 4: β = 0,5

Nki,y Knicken um die y-Achse, Knicken in andere Richtung.

EBaustahl = 21000 kN/cm

Einteilige Druckstäbe im Holzbau unter mittigem Kraftangriff

σw = ω * N/A < zul σd

ω = Erhöhungsfaktor

ω ist näherungsweise 1 + c * (λ / λg)2

σw fiktive Druckspannung

Zulässige Schlankheiten

λ < 150 einteilige Stäbe, Starrachse mehrteilger Stäbe

λ < 175 für die nachgiebige Achse von mehrteiligen Stäben

DIN 1052 Holzbau

Skizze

DIN 18800 T2 Knickspannungsnachweis im Stahlbau

Bezogene Schlankheit: λquerk = lambda/lambdaF

σF = π2 * E / λF2

Bezugsschlankheit lambdaF

reale Knickspannung σkr = κ * σF

plastische Normalkraft NPl

tatsächlich vorhandene Normalkraft ND = γF * N

Nachweis:

  1. Bezugsschlankheit
  2. Knicklängen
  3. Schlankheiten
  4. bezogene Schlankheiten
  5. Knickspannungslinien aus DIN 18800
  6. Abminderungswerte (κ)
  7. Plastische Normalkraft
  8. Tragsicherheitsnachweis

Knicklängenbeiwerte über Ersatzsysteme

Druckbehaftete und nicht druckbehaftete Teile des Systems trennen.

Durch eine Drehfeder ersetzen.

Federgesetz: M= cφ* φ

cφ Drehfederkonstante

φ Dtehwinkel

Wegfeder: F = c * w

Bestimmung der Federkonstanten

φ = Verdrehung der Tangente an die Biegelinie.

Tragsicherheitsnachweis gemäß DIN 18800 T2

Spannungstheorie 2. Ordnung

Der Gleichgewichtszustand wird am verformten System ermittelt.

Das Superpositionsprinzip ist nicht gültig.

Nachweise sind stests mit den Bemessungslasten bzw. Bemessungswerten der Widerstände zu führen (design-Werte).

Das System ist mit Vorverformungen zu beaufschlagen (Vorkrümmung, Schiefstellung).

Bestimmung der elastischen Grenzlast

w'' + λ2 * w = -λ2 * wv

DGL 2. Ordnung inhomogenen Typs

Ansatz: w(x)= A * sin(π/l*x)

mit ε = λ * l

A = ε2/(π22)*wv

elastische Grenzlast

Nki = π2 * E *I /l2

Spannungsnachweis:

Näherung nach Dischinger

MII = MI * (Nki / N + δ) / (Nki/N-1)

Skizze

Statisch unbestimmte Systeme

Kraftgrößenverfahren

einfach statisch unbestimmte Systeme

Das <b>Grundsystem</b> wird durch Entfernung statischer Größen im Ausgangssystem gewonnen.

Zustand 0 = Grundsystem unter realer Belastung

Ort 1 = Stelle, an der die erste statische Größe entfernt wurde.

δ1,0 Verformung. Der erste Index bezeichnet den Ort der Verformung. Der zweite Index bezeichnet die Ursache der Verformung.

Zustand 1 = Grundsystem unter der Wirkung der ersten statischen Unbekannten.

Resultat: δ1,1

Bestimmuug der Velformungen

δ10

Überlagerung beider Zustände, um das Ausgangssystem zu erhalten (Superpositionsprinzip)

Verträglichkeitsbedingung oder Elastizitätsbedingung:

δ1 = δ10 + x * δ11 = 0

x = statische Unbekannte

Bestimmung der übrigen statischen Größen

M = MO + x * M1

Alternativ kann eine innere statische Größe entfernt werden.

Zweifeldträger

Skizze

Skizze

Skizze

4H-NISI, äußeren Kraefte, allgemeine Biegegleichung, Arbeitssatz, Auflager, Aussparungen, Beanspruchbarkeit, Beanspruchung, begleitende Dreibein, Belastungsannahmen, Belastungsumordnungsverfahren, Bemessungswertder Einwirkungen, Bernoulli-Hypothese, Bezugsrand, Biegedrillknicken, Biegeknicken, Biegerandspannung, Biegesteifigkeit, Bredtsche Formel, Clapeyron, Dehnsteifigkeit, Dehnung, DIN 1080, Dreimomentengleichung, Drillknicken, Druckkraft, Durchbiegung, Durchlaufträger, E*A, E*I, Eigenarbeit, Einwirkungen, elastische Formänderungen, Elastizitätsforderung, erforderliche Widerstandsmoment, Eulersche Knickgleichung, F, Flächenmoment 2. Grades, Formänderungsbedingungen, Formänderungsenergie, Fremdarbeit, fy,d,, G, G, G*A, G*IT, Gleichgewichte, Gleitmodul, Gleitsteifigkeit, Gleitungen, Grad der statischen Unbestimmtheit, i, Innere Arbeit, inneren Kräfte, IT, KGV, Kipplast, Knicklänge, Knicknachweis, Knickzahl, Kombinationswert fuer Einwirkungen, Kraftgrößen, Kraftgrößenverfahren, Mohr, Momentensteifigkeit, Normalsteifigkeit, Nullinie, PCAE-DTE, Pieper/Martens, positive Normalkraft, positive Querkraft, positives Biegemoment, PvK, Q, Reduktionssatz, Resistance, Satz von Betti, Satz von Maxwell, Schnittgrößen, Schubsteifigkeit, Sicherheitsnachweis, Stabilität, Ständige Einwirkungen, statisch unbestimmte Systeme, Stützmomente, Superpositionsprinzip, Teilsicherheitsbeiwert, Temperaturausdehnungs­koeffizient, Torsion, Torsionssteifigkeit, Torsionsträgheitsmoment, Trägheitshalbmesser, Trägheitsmoment, Veränderliche Einwirkungen, Verdrehung, Verdrillung, Verschiebungsarbeit, virtuelle Kraftgrößen, Vorzeichenregelung, w(x), Weggrößen, Widerstand, Widerstandsmoment, Zugkraft, Äußere Arbeit,