Stand 2000
Die Komponenten der Resultierenden sind gleich der Summe der entsprechenden Komponenten der Teilkräfte. Eine Resultierende aus mehr als zwei Kräften bildet man, indem man die Kräfte in x- und z-Komponenten zerlegt, diese addiert und daraus die Resultierende bildet - die Vorzeichen müssen beachtet werden:
Rx = sum(i=1; i <= n) (Fi * cos(αi))
Rz = sum(i=1; i <= n)(Fi * cos(αi))
abs(R) = sqrt(Rx2 + Rz2)
tan αr = Rz/Rx
Zur eindeutigen Festlegung von αr ist zusätzlich der sin oder cos zu berechnen.
Für gleiche Rechenoperationen mit mehreren Kräften ist es sinnvoll, die Rechnungen in Tabellen durchzuführen.
Mit Hilfe der Cramerschen Regel und des
Additionstheorems
läßt
sich folgende Beziehung herstellen: Die bekannte Kraft F - Wirkungsrichtung α bekannt
- läßt sich in F1 und
F2 bei bekannten Wirkungsrichtungen α1 und α2 zerlegen:
F1 = F * sin(α2 - α) / sin(α2 - α1)
F2 = F * sin(α - α1) / sin(α2 - α1)
Ein positives Vorzeichen der Kraft zeigt an, dass ein Bauteil auf Zug beansprucht wird, ein negatives Vorzeichen ergibt sich an druckbeanspruchten Bauteilen.
Behandlung räumlicher Kräftegruppen
Allgemeines ebenes Kraftsystem: Kräftepaar, Momentensatz
Ursache für eine Verschiebung ist eine Kraft, Ursache für eine Verdrehung ist ein Kräftepaar.
Das Moment M einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ist das Produkt aus dem absoluten Betrag der Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie zum Bezugspunkt. Den Abstand bezeichnet man als Hebelarm. Vektoriell werden Momente oft als Doppelpfeil dargestellt.
Ein Kräftepaar kann in seiner Ebene beliebig verschoben werden, ohne dass sich seine Wirkung ändert.
Der innere Hebelarm ist der Abstand der Wirkungslinen zweier Kräfte.
Umwandlung von Kräftepaaren in Momente.
Momentensatz: Das Moment der Kraft F ist so groß wie die algebraische Summe der Momente ihrer beiden Komponenten, bezogen auf den gleichen Punkt.
Graphische Reduktion mit Teilresultierenden: Eine Kraft darf in ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich dadurch ihre Wirkung in Bezug auf den Gleichgewichtszustand ändert. Die inneren Kräfte aendern sich aber sehr wohl!
Polarkoordinatensystem: Vektoren werden bestimmt durch einen Winkel und die Länge.
Wirkungslinie, abgekuerzt WL, wird mit einer Punkt-Strich-Linie dargestellt.
3. Das zentrale Kraftsystem
Graphische Behandlung ebener Kraeftegruppen.
In einem Lageplan werden Angriffspunkt und Richtung der Kräfte wiedergegeben.
In einem Kräfteplan werden die Kräfte in einem bestimmten Kräftemaßstab wiedergegeben.
Kräftezug: Aneinanderreihung von Kräften. Werden mehr als zwei Kräfte zusammengesetzt, ergibt der Kräftezug ein Polygon.
Alle in einem Punkt angreifenden Kräfte lassen sich zu einer Resultierenden zusammenfassen. Die Lösung kann auch mit Teilresultierenden gewonnen werden.
Nachdem im Kräfteplan die Resultierende gefunden ist, kann diese im Lageplan eingetragen werden.
Zerlegen einer Kraft in Komponenten.
Eine Kraft ist zerlegbar in beliebig viele Teilkräfte mit gleichem Angriffspunkt. Die Aufgabe, eine Kraft in 2 Komponenten zu zerlegen ist vieldeutig, sie wird erst eindeutig, wenn die Wirkungslinien der beiden Komponenten festliegen. Der Schnittpunkt der WL bestimmt die Größe der Komponenten. Ihre Richtung wird durch dem Umfahrungssinn festgelegt. Das Zerlegen einer Kraft in 3 und mehr Komponenten ergibt beim ebenen zentralen Kraftsystem keine eindeutige Lösung.
Gleichgewichtsbedingung: Ein zentrales Kräftesystem, dessen Resultierende Null ist, befindet sich im Gleichgewicht, d. h. das Krafteck ist geschlossen.
Analytische Methoden zur Behandlung zentraler Kraftsysteme
In der Regel erfolgt eine Komponenten-Zerlegung in horizontaler und vertikaler Richtung. Wenn α der Winkel zwischen F und der Horizontalen ist, ergibt sich fuer die horizontale Komponente: F * cos(α) und für die vertikale F * sin(α).