Vektorrechnung
Begriffe
Skalar: Grössen, deren Wert durch positive oder negative Zahlen ausgedrückt wird, bezeichnet man als Skalar. z. B. Energie, Zeit, Länge
Vektor: Ein Vektor ist eine gerichtete Grösse. Grössen, deren Wert sowohl durch eine Zahl (Abmessung) als auch durch deren Richtung ausgedrückt wird, bezeichnet man als Vektor. z. B. Kraft, Geschwindigkeit, Feldstärken.
Einheitsvektor: Unter einem Einheitsvektor versteht man einen Vektor mit der Laenge 1. Konsequenz: Jeder Vektor mit dem Betrag 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet! Man erzeugt einen Einheitsvektor, indem man alle Vektorkoordinaten durch den Betrag des Vektors teilt.
Schreibweise: Über dem Vektor einen Pfeil, fuer den Betrag alles in Betragsstriche setzen.
Zwei Vektoren sind äquivalent, wenn sie aus einer Parallelverschiebung hervorgehen und ihr Betrag gleich ist.
Eingeschlossener Winkel zwischen zwei Vektoren:
Voraussetzung: Die Summe der Vektoren ist ungleich 0. Die Vektoren schliessen einen Winkel α ein . 0 <= alpha <= π. Es gibt zwei Sonderfälle α = 0 und α = π.
Orthogonalität: Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Konsequenz: Der eingeschlossene Winkel beträgt π/2 oder 3/2*π.
Parallelität
Unter einem Vektor versteht man immer einen freien Vektor, der die wesentliche Eigenschaft besitzt, dass er parallel im Raum verschoben werden darf. Deshalb sind Vektoren gleicher Richtung und Länge einander gleich: Sie sind äquivalent. Im Gegensatz dazu geht der Ortsvektor eines Punktes immer vom Ursprung aus.
Sind zwei Vektoren parallel, unterscheidet man zwei Fälle: A ||+ B, das + hochgestellt, der eingeschlossene Winkel ist 0 und ||- B, das - hochgestellt, der eingeschlossene Winkel ist pi.
Komponentendarstellung
x-y-z-Koordinatensystem: rechtshändiges, kartesisches Koordinatensystem, auch XYZ-System. Drei Einheitsvektoren in Richtung der drei Achsen. Ein beliebiger Vektor kann in der Spaltenvektor-Schreibweise notiert werden. Die Werte in den Klammern sind Vektorkoordinaten. Mit dem entsprechenden Einheitsvektor multipliziert ergeben sie jeweils Vektorkomponenten.
Zusammen mit einem freien Vektor kann ein Ortsvektor eine Gerade bestimmen. Und zusammen mit zwei freien Vektoren eine Ebene.
Die Vektorkoordinaten eines Nullvektors sind alle Null.
Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Ortsvektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Koordinaten. Der Betrag eines beliebigen Vektors ist die Wurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen seiner Komponenten.
Einsvektor
Einsvektor = Einheitsvektor
Richtungswinkel eines Vektors zu seinen Bezugsachsen
Bezugsachsen sind x-;y-;z-Achse. Winkel alpha zwischen dem Vektor A und dem zugehörigen Komponente ax auf der x-Achse: cos(alpha) = ax / abs(A)
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Hierbei werden zwei Vektoren vektoriell miteinander multipliziert. Unter einem vektoriellen Produkt zweier Vektoren A und B versteht man das Ergebnis eines neuen Vektors A*B, der charakterisiert wird durch folgende Bedingungen: A*B steht senkrecht auf A und B. A, B, A*B bilden in dieser Reihenfolge ein orientiertes Rechtssystem. Der Betrag des neuen Vektors ist das Produkt aus den Beträgen von a und B und dem Sinus des von A und B eingeschlossenen Winkels er entspricht dem Flächeninhalt des von A und B aufgespannten Parallelogramms:
| A*B | = | A | * | B | * sin (a, b)
Das Kreuzprodukt läßt sich als Determinante schreiben:
| ex ey ez |
| ax ay az |
| bx by bz |
