Arbeitssatz in der Baustatik

Stand 2000

Äußere Arbeit

Wenn F und s Vektoren sind, die den Winkel α einschließen, so gilt:

W = F * s * cos(α)

Die äußere Arbeit läßt sich unterteilen in Eigenarbeit und in Fremdarbeit.

Eigenarbeit

Eigenarbeit immer ist immer positiv.

Durch F_i ergibt sich die Verformung δ_ii. Der erste Teil des Indexes bezeichnet den Ort, der zweite die Ursache

δdW = δF_i*δ_ii

Die Beanpruchung durch eine dynamische Kraft erzeugt bei gleichem Betrag die doppelte Beanspruchung einer statischen Kraft. Bei statischen Kräften steigt Belastung linear an.

Es gilt: W= 1/2 * F_i*δ_ii

Fremdarbeit

Fremdarbeit wird auch als Verschiebungsarbeit bezeichnet, sie kann negativ sein.

W = F_i * δ_ij

Innere Arbeit

Innere Arbeit wird auch als Formänderungsenergie oder W_i bezeichnet Der Index i steht für für innere Arbeit.

Wird ein differentiell kleines Teilchen der Länge dx wird durch N beansprucht , so ist das Resultat eine Verlängerung um du. Das Teilchen ist Bestandteil eines Stabes der Länge l.

dW_i = 1/2 * N * du

dW_i = 1/2 * N * ε * dx

• ε Dehnung

Durch Einsetzen der Dehnungssteifigkeit erhält man die Formänderungsenergie für Normalkraftbeanspruchungen:

dW_i = 1/2 * N² / (E*A) * dx

Die Formänderungsenergie für Querkraftbeanspruchungen ist:

Die folgende Formel nutzt MathML und wird eventuell in einigen Browsern nicht korrekt dargestellt! Erfolgreich getestet mit Mozilla Firefox.

$\delta W_i=\frac{1}{2}*\kappa *\frac{Q^2}{G*A}*dx$

Die Formänderungsenergie für Biegebeanspruchungen ist:

Die folgende Formel nutzt MathML und wird eventuell in einigen Browsern nicht korrekt dargestellt! Erfolgreich getestet mit Mozilla Firefox.

$\delta W_i=\frac{1}{2}*\frac{M^2}{E*I}*dx$

Die Formänderungsenergie fürTorsionsmomenterbeanspruchungen ist:

dW_i = 1/2 * M_T² / (G* I_T)* dx

Einzelne Arbeitsterme dürfen in der linearen Statik addiert werden.

Bei überwiegend biegebeanspruchten Systemen ist es ausreichend den Biegemomententerm zu betrachten.

W_i = δdW_i = δ1/2 * N² /(E *A) *dx

W_i = 1/2 * N ² / (E*A) W * l

Arbeitssatz

Die äußere Arbeit ist gleich der Formänderungsenergie.

Stab der Länge l verlängert sich aufgrund des Angriffes von F um u.

W_a= 1/2 * F * u

W_i = 1/2 * N² * l /(E*A)

W_a = W_i

Folglich muß gelten:

N² * l /(E*A) = F * u

Beispiel:

Ein Einfeldträger mit einer in Feldmitte angreifenden Einzellast. Gesucht ist die Maximalverformung w. Da der Träger überwiegend biegebeansprucht ist, kann die Wirkung der Querkräfte vernachlässigt werden. Die Eigenarbeit von F ist:

W_a = 1/2 * F * w

dW_i = 1/2 * M² /(E*I) * dx

max(M) = F * l/4

Der Verlauf ist linear.

M(x) = F * x /2

W_i = F² /(4 * E*I) * l³/3

w = F*l³ / (48 * E * I)

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