Winkel
Überprüfung der Winkel des Einheitsvektors:
1 = (cos alpha)2 + (cos beta)2 + (cos gamma)2
Normalvektor: Einsvektor, der auf einer Ebene senkrecht steht.
Vektoroperationen - Rechenregeln
Vektoraddition: Zwei Vektoren hintereinanderhängen und den resultierenden Vektor bilden.
Vektorsubtraktion: Richtung des eines Vektors unmkehren und beide addieren.
Für Vektoraddition und Vektorsubtraktion gelten das Kommutativgesetz, Distributivgesetz, und das Assoziativgesetz.
skalare Vektormultiplikation: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Es ergibt sich ein gleich- oder gegengerichteter Vektor. Ist der Skalar Null, so wird der Vektor zum Nullvektor, ist der Skalar grösser null, ist das Produkt gleichsinnig parallel, ist der Skalar kleiner Null, ist das Produkt gegensinnig parallel zum Ausgangsvektor.
Normvektor: Vektor der Länge 1. Um einen Vektor zu normieren, multipliziert man ihn skalar mit dem Kehrwert seines Betrages.
Skalarprodukt (inneres Produkt) Hierbei werden zwei Vektoren miteinander multipliziert. Unter dem skalaren Produkt zweier Vektoren versteht man das Produkt aus ihren Beträgen und dem Cosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Den Cosinussatz kann man mit Hilfe des Skalarproduktes herleiten.
Eingeschlossener Winkel zwischen zwei Vektoren. Zwei Vektoren A und B
mit Komponenten in x-, y- und z-Richtung schliessen den Winkel φ ein.
Es gilt:
cos(φ) = (ax * bx + ay * by + az * bz)/(|A|*|B|)
Das Kommunitativgesetz
Ausdrücke können beliebig vertauscht werden:
Wenn gilt a + b = c , dann gilt auch: b + a = c.
Das Distributivgesetz
Ausdrücke können beliebig zerlegt werden:
( b + c ) * a = b * a + c * a
Das Assoziativgesetz
Ausdrücke können beliebig verbunden werden:
( a + b ) + c = d = a + ( b + c )
Cosinussatz
In einem beliebigen Dreieck gilt:
c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cos(γ)
Additionstheorem
sin( γ - β ) = sin(γ) * cos(β) - cos(γ) * sin(β)
Cramersche Regel
Lösung linearer Gleichungssystemen mit Hilfe von Determinanten. Es ergibt sich eine Lösung, falls die Anzahl der Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist: Das folgende Gleichungssystem:
a1 x + b1 y = r1
a2 x + b2 y = r2
hat die Lösung:
| r1 b1 |
| r2 b2 |
--------- = x
D
| a1 r1 |
| a2 r2 |
--------- = y
D
Die Determinante D ist:
| a1 b1 |
| a2 b2 |
Determinanten
Ein Beispiel für eine zweireihige Determinate:
| a1 b1 |
| a2 b2 |
Sie ist definiert als: a1 b2 - a2 b1
