Matrizenrechnung
Die Matrix A besteht aus m Zeilenund n Spalten. Sie hat m * n Elemente der Bezeichnung ai k. Der Index i des Elementes gibt die Zeile an, des Index k die Spalte.
Schreibweise: Matrizen werden grundsätzlich mit Großbuchstaben gekennzeichnet, auch die folgende Schreibweise ist möglich:
A(m;n)
Elemente der Matrix werden mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Sie erhalten zur Zuordnung tiefgestellte Indizes, z.B. a2 3.
Ein Zeilenvektorist eine einzeilige Matrix. Er besteht aus nur einer Zeile und n Elementen. Zur Kennzeichnung erhalten die Elemente tiefgestellte Indizes.
Ein Spaltenvektor besteht aus nur einer Spalte mit m Elementen. Zur Kennzeichnung erhalten die Elemente hochgestellte Indizes, z.B.: a2.
Unter einer Matrix versteht man einen linearen und homogenen Zusammenhang zwischen m * n reellen Zahlen, die nach einem bestimmten System geordnet sind.
Die Hauptdiagonale einer Matrix verläuft von links oben nach rechts unten.
Die Nebendiagonale verläuft von rechts oben nach links unten.
Gleichungssystem in der Matrizenschreibweise
I. x1 - 2 x2 + x3 = 6
II. 2 x1 - x2 - x3 = -3
III. - x1 - 4 x2 + 3 x3 = 14
In dieser Anordnung von Zahlen und Variablen unterscheiden wir nach Koeffizienten, Unbekannten und Konstanten. Die Koeffizienten sind die Vorfaktoren der Unbekannten. Die Konstanten bilden die rechte Seite.
| | 1 | -2 | 1 | | | x1 | | | 6 | | |
| | 2 | 1 | -1 | | | x2 | | = | |-3| |
| |-1 | -4 | 3 | | | x3 | | |14| |
Man erhält eine Koeffizientenmatrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten, einen Lösungsvektor, er ist ein Spaltenvektor. Die rechte Seite, der Lösungsvektor, ist ein Spaltenvektor.
In der Matrizenschreibweise wird beides in runde oder eckige Klammern eingekleidet.
Durch Transponieren wird ein Zeilenvektor zu einem Spaltenvektor. Man schreibt für die transponierte Matrix A folgendes: AT. Die transponierte Matrix erhält man durch Spiegelung. Zeilen werden zu Spalten und umgekehrt. Für eine quadratische Matrix ist dies eine Spiegelung um die Hauptdiagonale.
Die Elemente der Hauptdiagonalen bleiben unverändert. Durch das Transponieren einer Matrix wird ihr Determinantenwert nicht verändert:
D = det | A | = det | AT
Alle Elemente der Nullmatrix haben den Wert Null.
Die quadratische Matrix ist dadurch gekennzeichnet, daß Zeilenanzahl und Spaltenanzahl gleich sind. Man spricht von einer Matrix n-ter Ordnung.
Jede quadratische Matrix ist zerlegbar in die Summe ihres symmetrischen und antimetrischen Anteils:
A = AS + AA
Spezielle quadratische Matrizen
Die Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen den Wert Null haben:
ai k = 0 für i ungleich k
Die Einheitsmatrix ist eine Matrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben und alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen den Wert Null:
ai k = 0 für i ungleich k
ai i = 1
Multipliziert man die Kehrmatrix A-1 einer Matrix A, auch inverse Matrix genannt mit A, so ergibt sich die Einheitsmatrix. Diese Eigenschaft der Kehrmatrix ist wichtig als Kontrollmechanismus.
Die Kehrmatrix wird wie folgt gebildet:
A-1 = 1 / | A | * Ak i
a-1i k = +/- 1/ | A | * Ak i
Ist die Summe der Indizes i + k gerade, so ist das Vorzeichen des Elementes positiv. Ist die Summe ungerade, so ist das Vorzeichen negativ. Ak i sind Adjunkten der Matrix.
Es gibt zwei Arten der Dreiecksmatrix:
Die obere Dreiecksmatrix, in diesem Fall sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null, und die untere Dreiecksmatrix, in diesem Fall sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null. Die obere Dreiecksmatrix wird für die Vorwärtsrechnung benutzt, die untere für die Rückwärtsrechnung.
Die Elemente der symmetrischen Matrix sind spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet:
ai k = ak i
Man erhält den symmetrischen Anteil einer quadratischen Matrix wie folgt:
AS = 1 / 2 * ( A + AT)
Die Elemente der schiefsymmetrischen Matrix - auch antimetrische Matrix genannt - sind spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die Elemente der Hauptdiagonale sind gleich Null:
ai k = - ak i
ai i = 0
Eine antimetrische Matrix ist ihrer Transponierten entgegengesetzt gleich:
A = -AT
Man erhält dem antimetrischen Anteil einer quadratischen Matrix wie folgt:
AA = 1 / 2 * (A - AT)
Alle Elemente der Hauptdiagonalen der Skalarmatrix haben einen bestimmten Wert k. Die anderen Elemente sind gleich Null:
ai k = 0 für i ungleich k
ai i = k
Man kann die Skalarmatrix folglich durch Multiplikation der Einheitsmatrix mit dem Skalar k gewinnen.
Matrizen-Rechenregeln
Matrizenaddition und Matrizensubtraktion
Matrizen gleichen Typs werden addiert bzw. subtrahiert, indem ihre einzelnen Elemente addiert bzw. subtrahiert werden. Es entsteht eine neue Matrix gleichen Typs. Matrizen unterschiedlichen Typs können nicht addiert oder subtrahiert werden.
Matrizenmultiplikation mit einem Skalar
Jedes einzelne Element der Matrize wird mit dem Skalar multipliziert:
k * A = k * ai k
Es kann deshalb auch ein Faktor aus der Matrize herausgezogen werden.
Matrizen werden miteinander multipliziert, indem die Elemente einer Zeile mit den Elementen einer Spalte multipliziert werden und im Anschluß die Summe gebildet wird.
C = A * B
Die Multiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist die Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrix unterschiedlich, dann ist eventuell die Matrizenmultiplikation überhaupt nicht möglich, oder es ist nur eine bestimmte Verkettung möglich. Die Reihenfolge von A und B ist nicht beliebig!
Das Element ci k ist dabei die Summe der Produkte der Elemente der i-ten Zeile von A und der Elemente der k-ten Spalte von B:
ci k = ai 1 + b1 k + ai 2 + ... + ai n + bn k
Es gilt: (A + B)* C = A * C + B * C
Das Falk'sche Schema zeigt einen einfachen Weg, um zwei Matrizen A und B zu multiplizieren. Es entsteht eine neue Matrix C = A*B. Hat A m Zeilen und n Spalten, so muß B n Zeilen und p Spalten haben. Die Matrix C hat demnach m Zeilen und p Spalten. Man setzt zuerst die Klammern mit ausreichendem Platz für C. A schreibt man rechts von C und B oberhalb von C.
Die Kontrolle der Multiplikation kann mit drei Verfahren erfolgen: Der Spaltensummenprobe, bei der eine neue Zeile gewonnen wird oder der Zeilensummenprobe, bei der eine neue Spalte gewonnen wird.
Bei quadratischen Matrizen ist eine Probe durch Determinatenwertvergleich möglich.
Bei der Spaltensummenprobe wird eine neue Zeile durch Addition der Spaltenelemente von A gewonnen. Diese Zeile ist mit den Spalten von B zu multiplizieren. Es entstehen neue Elemente von C. Summiert man die Spalten von C auf, so müssen die Elemente gleich groß sein.
Bei der Zeilensummenprobe wird durch Addition der Zeilenelemente von B eine neue Spalte gewonnen. Diese Spalte ist mit den Zeilen von A zu multiplizieren. Es entstehen neue Elemente von C. Werden die Zeilen von C aufsummiert, so müssen die Elemente gleich groß sein.
Determinantenwertvergleich bei quadratischen Matrizen: Die Determinate det(A * B) eines Matrizenproduktes ist gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Einzelmatrizen:
det(A * B) = det(A) * det(B)
Lineare Gleichungssysteme sind lösbar, wenn der Determinantenwert der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Eine solche Matrix ist eine reguläre Matrix. Ist der Determinantenwert der Matrix gleich Null, so handelt es sich um eine singuläre Matrix, es liegt ein singuläres Gleichungssystem vor.
Der Determinantenwert einer Matrix läßt sich über die Sarrus'sche Regel bestimmen:
Der Determinantenwert einer Determinanten erster Ordnung ist exakt der Koeffizientenwert. Der Determinantenwert einer Determinante zweiter Ordnung ist:
det | K | = k1 1 * k2 2 - k1 2 * k2 1
Der Determinantenwert einer Determinanten dritter Ordnung ist: det | K | =
k1 1 * k2 2 * k3 3 + k1 2* k2 3 * k3 1 + k1 3 * k2 1 * k3 2
- k1 3 * k2 2 * k3 1 - k1 2 * k2 1 * k3 3 - k1 1 * k2 3 * k3 2
Bei größeren Matrizen bietet sich die Bildung des Determinantenwertes über Adjunkten an. Für eine Determinante dritter Ordnung ergibt sich:
D = det | A | = a1 1 * A1 1 + a2 1 * A2 1 + a3 1 * A3 1
Zu beachten ist, dass durchgehend eine Zeile oder Spalte eingehalten werden muß. Die Vorzeichen der Adjunkten Ai j ergeben sich wie folgt: ist die Summe der Indizes i + j gerade, so ist das Vorzeichen positiv. Ist die Summe der Indizes i + j ungerade, so ist das Vorzeichen negativ. Die Adjunkte Ai j erhält man, indem man die i-te Zeile und die j-te Spalte gleich Null setzt und aus den verbleibenden Elementen eine neue Matrix bildet.
